DOE系列之七：解决配方问题的DOE高手
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在实际工作中，常常需要研究一些配方（或称为配比）的试验问题，这种问题常常出现在冶金、化工、医药、食品等行业中。例如，不锈钢是由铁、镍、铜和铬4种元素组成；闪光剂由镁、硝酸钠、硝酸锶及固定剂组成；复合燃料、复合塑料、混纺纤维、混凝土、粘接剂、药片、饲料等都是由多种成分按相应比率制作而成，等等。这些产品都可以被统称为混料（Mixture），组成混料的各种成分可以被称为混料成分或分量，同时它们也是混料试验中的因子（Factor）。 它们的比例关系对产品的最终质量特性起到了决定性的作用。
这时候，如果我们要用试验设计的方法进行分析的话，会发现两个与众不同的特征。一是通常人们关心的是各种分量的比例而不是其绝对数值，二是所有分量之间存在一种特殊的约束条件，即总和一定为1或其他常数。这两个与众不同的特征使此类试验设计的研究方法与此前我们讨论过的所有试验设计类型都有明显的区别，直接应用以往的试验设计方法显得颇为牵强，所得到的分析结果也降低了可信度。
如何解决这个棘手的问题呢？事实上，对于这种分量之和总是为一定常量的试验设计，我们常常会请一位精于此道的
DOE高手——混料设计（Mixture Design）来帮忙。本期的DOE系列连载就将具体介绍混料设计的原理与应用。同样，混料设计的实现也离不开统计分析软件的支持。高端
六西格玛统计分析软件JMP是目前业界最先进的六西格玛工具，其在DOE方面的表现最为优秀，在本期案例中我们将继续以中英文双语版JMP软件作为DOE方案实现的载体。
一般来说，混料设计中的混料成分至少有3种，它们之间的约束特征可以用图一来形象地表示。也就是说，所有的试验点均落在一个特定三角形平面上，而不是以往的一个立方体内。这个现象进一步地提示我们可以利用“三线坐标系”巧妙又直观地揭示混料设计中各分量的组成状况。其原理来源于平面几何中的有关知识：等边三角形内的任何一点到三条边的距离之和等于该三角形的高。如果设三角形的高为1，则任何一点的坐标就可以用其到三个边的三个距离来表示。当然，这三个坐标并不独立——三者之和恒为1，这恰好与混料设计中“共有3种混料成分，所有成分的比例之和总是为1”的条件相对应，图二就是一张三线坐标系的示意图。当混料设计中的混料成分增至4种时，等边三角形将变成正四面体，增至5种以上时，就没有直观的图形了，但是我们可以以此类推，想象一个多维空间图形的存在。
混料设计中最重要，也是最有特色的当属试验点的选取方法。常见的选取方法有四种，分别是单纯形中心设计（Simplex Centroid）、单纯形格子点设计（Simplex Lattice）、极角点设计（Extreme Vertices）和筛选设计（ABCD Design）。本文将以最为典型的“单纯形格子点设计”为代表，详细介绍如何选取试验点。
单纯形格子点设计的基本思想是将全部格子点集内每个点依次选中。格子点是由因子和阶数两个参数给定, 此格子点集记为{ ， }。以三种混料成分（即三个因子）为例，三因子一阶数的格子点集合（记作{3，1}）就是 3 个顶点全体（参见图三的左图），三因子二阶数的格子点集合（记作{3，2}）就是将3条边各二等分，由 3 个顶点及 3条边中点全体组成的集合（参见图三的中图）。三因子三阶数的格子点集合（记作{3，3}）就是将3条边各三等分，过各分点画与另两边平行的直线，由平行线所交而形成的格点（共10个）组成的集合（参见图三的右图）。依此类推, 但通常阶数到3为止就足够了。{3，3}格子点的坐标如图四所示。
关于混料设计其他众多的选点设计方案，有兴趣的读者可查阅相关书籍或统计软件JMP的帮助文件说明来进一步丰富自己的视野。这里还是通过一个实际的工业案例来介绍混料设计的应用特点。
场景 : 在新型高强度合金冶炼技术中，关键是添加剂的配比问题。假设添加剂总量占总量 2%，而添加剂由A,B,C共3种成分构成。试安排一个试验设计，求出3种分量的配比使断裂强度达到最大。
显然，这个试验非常适合用混料设计的方法来解决。综合考虑试验成本等因素，首先采用了前文介绍过的“三因子三阶数的单纯形格子点设计”选择试验点。然后根据试验计划开展试验，完成试验后将数据汇总，得到断裂强度的测量值。
同时，我们也可以利用统计分析软件JMP提供的绘图工具“三元图”来形象地表现此次混料设计中的选点方案。
关于混料设计的数据分析，其方法和之前介绍的方法类似，主要也是通过“标准最小二乘法”来实现。有了统计分析软件JMP的帮助，这部分的工作显得更加轻松有效。延续以往的做法，在此依然用JMP软件中可视化效果极佳的预测刻画器说明统计建模的分析结果。如图七可知，当添加剂的配比中成分A为0%，成分B为20.329%，成分C为79.671%时，断裂强度将会达到最大的142.7659。我们可以在此基础上进行验证试验。
到目前为止，我们已经向大家介绍了很多关于DOE的内容，但是近百年来学术界和企业界不断积累起来的DOE知识经验还远远不止这些。从下一期起，更多新颖实用的DOE理论与应用将会陆续登场亮相。